问题的提出

笔者在高中时代学习洛仑兹力时，遇到过这样的习题，涉及到求解水平方向（例如沿x轴）射出的带电粒子在竖直（例如沿z轴负向）的重力场和垂直于重力场（例如 垂直于xOz平面，且为简化：平行于y轴）的匀强磁场的复合场中，受重力和洛仑兹力的作用形成的运动轨迹的问题。受当时的知识水平，这个问题笔者无法给出确切的解答。在进入大学后，笔者利用高等数学以及数值计算的知识，将在后文重新审视这个问题。

问题描述

设在空间直角坐标系Oxyz下，存在匀强磁场 \( \mathbf{B} = (B,0,0) \) 与重力场\( \mathbf{G} = (0, 0, -g) \)构成的复合场。 质量为\( m \)，带电量为\( q \)的一个带电粒子从原点O以初速度 \( \mathbf{v_0} = (0, v_0, w_0) \) 射出。 只考虑洛仑兹力和重力的作用，求带电粒子的运动轨迹。

解答

首先分析带电粒子的受力：

\[ \mathbf{F_B} = q(\mathbf{v} \times \mathbf{B}) = (\mathit{0, qwB, -qvB}) \]

\[ \mathbf{F_g} = m\mathbf{g} = (\mathit{0, 0, -mg}) \]

根据牛顿第二定律：

\[ m \frac{ \mathrm{d} ^2\mathbf{r}}{ \mathrm{d} t^2} = \mathbf{F_B} + \mathbf{F_g} = (\mathit{0, qwB, -mg-qvB}) \]

写成投影式为：

\[ m \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2} = \mathit{qB} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \] \[ m \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d} t^2} = -\mathit{mg} - \mathit{qB} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \]

利用Wolfram Mathematica求解

利用Wolfram Mathematica 7.0求解上述微分方程组的代码为：

代码:

equs = {q*B*z'[t] == m*y''[t], -q*B*y'[t] - m*g == m*z''[t],
y'[0] == v, z'[0] == w, y[0] == 0, z[0] == 0};
s = NDSolve[equs, {y[t], z[t], y'[t], z'[t]}, {t, 0, tm}];
ParametricPlot[Evaluate[{y[t], z[t]} /. s], {t, 0, tm}]
ParametricPlot[Evaluate[{y'[t], z'[t]} /. s], {t, 0, tm}]

其中，q、B、m、g、v、w、tm为需要事先定义的常数。

以上代码的运行结果包括两幅图像。第一幅为在\( 0 \leqslant t \leqslant tm \)时间内粒子的运动轨迹， 第二幅为在同一时间内粒子沿y和z方向两个速度分量的大小关系。